復(fù)立體是在廣義冪指函數(shù)角度下的復(fù)平面理論。

外文名

CuiGe

定義

用三個(gè)維度擴(kuò)展復(fù)平面

復(fù)立體定義

復(fù)立體附圖

如左圖所示，在三維空間中存在實(shí)軸。在實(shí)軸的原點(diǎn)處作垂面1定義為虛面。在虛面上作單位圓定義為虛圓。從虛圓圓上選取某特定的一個(gè)直徑和實(shí)軸組成面2定義為標(biāo)準(zhǔn)復(fù)平面。虛圓上其他直徑和實(shí)軸組成非標(biāo)準(zhǔn)復(fù)平面。

虛圓上的點(diǎn)即由-1所有二次方根組成。選定的直徑為i∠(0)和i∠(-1)（定義見后，前者即為i，后者即為-i）。

無論標(biāo)準(zhǔn)復(fù)平面還是非標(biāo)準(zhǔn)復(fù)平面，其面內(nèi)皆可以進(jìn)行加減等運(yùn)算。同時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)復(fù)平面就是現(xiàn)有的復(fù)平面，

目前的復(fù)平面理論皆適用。

任何復(fù)立體中的點(diǎn)，都可以用一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的矢量（稱為復(fù)立體矢量）表示，這種矢量不同于(i,j,k)矢量。

這個(gè)時(shí)候，任何復(fù)立體中的點(diǎn)，都表示為a×1+b×ix。其中，b×ix為廣義虛數(shù)，ix形式為i∠(x)。

復(fù)立體討論

根據(jù)公式

w^z=exp(z*Lnw)

=exp{z*[i*(arg(w)+2kπ)+ln|w|]}，得到：

i^i和(-i)^(-i)均為exp[(π/2)+2kπ]。

Exp[(π/2)+2kπ]是個(gè)多等式，起因是Lnw多值引起。但是，換個(gè)角度，也可以認(rèn)為i值多值引起，即假定定義某個(gè)ix，是現(xiàn)有復(fù)數(shù)i的一個(gè)元素，對應(yīng)于Exp{-[(π/2)+2kπ]}的某個(gè)k。不同的ix對應(yīng)不同的k值。用i∠(x)括號中的數(shù)字來區(qū)分各個(gè)解。由于π/2并非唯一候選值，故括號中的數(shù)字為對應(yīng)于π/2時(shí)候的k。

這樣，-1即有無窮二次方根。從上面的復(fù)立體角度看，就是這些根均位于同一個(gè)平面上。

意義

復(fù)立體推廣了復(fù)平面理論，并指出代數(shù)基本定理需要推廣。