婆羅摩笈多定理是婆羅摩笈多提出的數(shù)學(xué)定理,別名布拉美古塔定理。外文名Brahmagupta theorem。提出時(shí)間公元628年。若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直,則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊。推廣過(guò)圓內(nèi)接四邊形兩對(duì)角線交點(diǎn)作任一邊的垂線,必過(guò)以其對(duì)邊為一邊,以交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的外心。

中文名

婆羅摩笈多定理

外文名

Brahmagupta theorem

別名

布拉美古塔定理

提出者

婆羅摩笈多

應(yīng)用學(xué)科

數(shù)學(xué)

適用領(lǐng)域

幾何

提出時(shí)間

約公元628年

定理定義

若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直,則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊。這個(gè)定理有另一個(gè)名稱(chēng),叫做"布拉美古塔定理"(又譯"卜拉美古塔定理")。

驗(yàn)證推導(dǎo)

方法一

方法一圖片

如圖,運(yùn)用向量證明。

∵B、F、A共線,由共線向量基本定理可知,存在唯一實(shí)數(shù)k,使

EF

=(1-k)

EB

+k

EA

。其中

BF

=k

BA

又EF⊥CD

EF

·

CD

=[(1-k)

EB

+k

EA

]·(

CE

+

ED

)=0

展開(kāi)得(1-k)

EB

·

CE

+k

EA

·

CE

+(1-k)

EB

·

ED

+k

EA

·

ED

=0

∵EB⊥CE、EA⊥ED,即

EB

·

CE

=0,

EA

·

ED

=0

∴k

EA

·

CE

+(1-k)

EB

·

ED

=0

即k|

EA

||

CE

|cos0+(1-k)|

EB

||

ED

|cosπ=0

kEA*EC=(1-k)EB*ED

∵EA*EC=EB*ED(相交弦定理)

∴k=1-k,k=1/2

BF

=1/2*

BA

,即F是BA中點(diǎn)

方法二

方法二圖片

如圖,運(yùn)用幾何證明。

∵AC⊥BD,ME⊥BC

∴∠CBD=∠CME

∵∠CBD=∠CAD,∠CME=∠AMF

∴∠CAD=∠AMF

∴AF=MF

∵∠AMD=90°,同時(shí)∠MAD+∠MDA=90°

∴∠FMD=∠FDM

∴MF=DF,即F是AD中點(diǎn)

定理推廣

若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直,則一邊中點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊。

如上圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AC⊥BD,M是垂足。F是AD中點(diǎn),則FM⊥BC。

過(guò)圓內(nèi)接四邊形兩對(duì)角線交點(diǎn)做另一邊的垂線,必過(guò)其對(duì)邊為一邊,以交點(diǎn)為一頂點(diǎn)的三角形的外心。

證明

方法一

婆羅摩笈多定理

∵M(jìn)A⊥MD,F(xiàn)是AD中點(diǎn)

∴AF=MF

∴∠CAD=∠AMF

∵∠CAD=∠CBD,∠AMF=∠CME

∴∠CBD=∠CME

∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°

∴∠CBD+∠BME=90°

∴EF⊥BC

方法二

婆羅摩笈多定理

∵F是BA中點(diǎn)

EF

=1/2*(

EA

+

EB

)

CD

=

CE

+

ED

EF

·

CD

=1/2*(

EA

+

EB

)·(

CE

+

ED

)

EF

·

CD

=1/2*(

EA

·

CE

+

EA

·

ED

+

EB

·

CE

+

EB

·

ED

)

EF

·

CD

=1/2*(EA*EC-EB*ED)=0

∴EF⊥CD

定理說(shuō)明

1.此定理是很冷門(mén)的(被考即是因?yàn)槔溟T(mén)),最好題前引例證明

2.向量法證明是很方便的方法,特別是另一版本的證明,自己想出來(lái)的,比我看的任何證明過(guò)程都簡(jiǎn)單很多

3.想要抓住聯(lián)賽的幾何題,類(lèi)似的冷門(mén)定理要多掌握