群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。如果群G的非空子集合H對于G的運算也成一個群，那么H稱為G的子群。

極大子群(maximal subgroup)是一種重要的子群。是有限群的子群。極小子群是一種重要的子群。極大子群的對偶概念。

概念

極大子群(maximal subgroup)是一種重要的子群。是有限群的子群。即在包含的意義下極大的真子群。它是群G的真子群H，且G與H之間無G的其他真子群。若H是群G的真子群，并且，對于G的真子群K，由

得出

，則稱H是G的極大子群。

群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數(shù)運算“·”(稱為“乘法”，運算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，

(2)結(jié)合律，即

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得

，則稱G對于所定義的運算“·”構(gòu)成一個群。例如，所有不等于零的實數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個群；時針轉(zhuǎn)動(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對幾何學(xué)進(jìn)行分類?？梢哉f，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

子群

如果群G的非空子集合H對于G的運算也成一個群，那么H稱為G的子群。

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為

。若子群

，則稱H為G的真子群，記為

。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群

(或用{1}或1表示)，稱它們?yōu)镚的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的

，恒有

。若

是G的子群的集合，I是一個指標(biāo)集，則所有H的交H是G的一個子群。

對偶概念——極小子群

極小子群是一種重要的子群。極大子群的對偶概念。指在包含的意義下，群的最小的非平凡真子群。它是群G的真子群K，且K除了單位元群

為真子群以外無其他真子群。若K是群G的真子群，

，并且，對于G的真子群H，由

得出

或

，則稱K是G的極小子群。

有限群

循環(huán)群的任一直積是有限交換群。反之，任一有限交換群必具有這種形式。特別，其階為素數(shù)的所有有限群皆是循環(huán)群。

任一有限群(不一定是交換的)同構(gòu)于一有限集的置換群的一個子群。目前，人們還沒有弄清楚有限群的分類。

非交換的有限群之研究目前基本上停留在p-群的概念上。這是指其階為一個素數(shù)p的冪的有限群。有限群G的所有最大p-子群叫做G的西羅子群；G的所有西羅p-子群都是共軛的，而它們的公共階是能整除G的階的p之最大冪。

具有有限多個元素的群，是群論的重要內(nèi)容之一。其所含元素的個數(shù)，稱為有限群的階。歷史上，抽象群論的許多概念起源于有限群論。有限群可分為兩大類：可解群與非可解群(即單群)。

有限群的研究起源很早，其形成時期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及后來的伽羅瓦、若爾當(dāng)?shù)热说拿窒嗦?lián)系的。如何確定可解群和單群是抽象群理論建立后的一個重要發(fā)展方向。德國數(shù)學(xué)家赫爾德在1889年以后的若干年內(nèi)，詳細(xì)地研究了單群和可解群，證明：一個素數(shù)階循環(huán)群是單群，n個(

)文字的全部偶置換組成的交換群是單群。他還發(fā)現(xiàn)了許多其他有限的單群。赫爾德和若爾當(dāng)還建立了在有限群中的若爾當(dāng)—赫爾德合成群列和若爾當(dāng)—赫爾德定理。在19世紀(jì)末，德國數(shù)學(xué)家弗羅貝尼烏斯、迪克和英國數(shù)學(xué)家伯恩塞德等都致力于可解群的研究。20世紀(jì)初伯恩塞德證明的關(guān)于

必是可解群的定理，導(dǎo)致了對有限單群進(jìn)行分類的重要研究。美國數(shù)學(xué)家湯普森和菲特在20世紀(jì)60年代初證明了有限群中長期懸而未決的一個猜想(見伯恩塞德猜想)：奇數(shù)階群一定是可解群。它推動了有限群理論的發(fā)展。有限單群的完全分類，即找出有限單群所有的同構(gòu)類，經(jīng)過上百名數(shù)學(xué)家約40年的共同努力，終于在1981年得到解決，這是數(shù)學(xué)史上的一個非凡成就。